Trasmissioni a Lunga Distanza Introduzione Riprendiamo in esame in questo capitolo alcuni dei fenomeni visti, in chiave negativa, nei capitoli precedenti per vedere come sia possibile sfruttarli a favore della trasmissione di segnali ottici su fibra. In particolare vedremo come si stia sviluppando una nuova tecnologia di trasmissione basata sui fenomeni dispersivi nonlineari, relativi alle fibre monomodali, esaminati nel dettaglio in precedenza. L'attenzione è stata rivolta alle fibre monomodali perchè, come si ricorderà, è tale tipo di fibra che potenzialemente può garantire una maggiore distanza di trasmissione senza necessità di un ripetitore di segnale. 6.1 - Compensazione della Dispersione Intramodale in Fibre Monomodo con Segnali "chirp" Rammentiamo che uno dei fenomeni che limitano la trasmissione ad alta velocità su lunghe tratte di fibra è la dispersione intramodale (Cap. 1.3) sperimentata dal segnale in una fibra monomodo per effetto della dispersione del materiale e di guida d'onda. L'effetto di tale fenomeno sull'impulso passa-banda alla frequenza f0, corrispondente alla trasmissione di un simbolo pari ad "1" in un sistema IM/DD, è quello di provocare un progressivo "allargamento" dell'inviluppo dell'impulso stesso man mano che il segnale si propaga in fibra, come è suggerito dalla figura seguente. Fig. 6.1 - Allargamento dell'inviluppo di un pacchetto d'onda per dispersione intramodale. Possibili contromisure alla dispersione intramodale, che può essere vista come un fenomeno di distorsione lineare, consistono in un certo ammontare di filtraggio sagomatore in ricezione con l'intento di "equalizzare" la risposta della fibra. Nei ricevitori per sistemi ad alta velocità non è, però, possibile allo stato attuale dell'arte realizzare raffinati equalizzatori (come quelli presenti nei sistemi radio) che richiederebbero componenti a banda larghissima non facilmente progettabili. Quando la dispersione diventa notevole e la velocità di trasmissione è alta, l'equalizzazione in ricezione si rivela impraticabile 18. Un effetto opposto a quello di "allargamento temporale" dell'impulso lanciato in fibra a causa della dispersione può essere ottenuto sfruttando opportunamente la caratteristica tipica del mezzo dispersivo di presentare diverse velocità di propagazione per diverse componenti frequenziali del segnale. L'"allargamento", infatti, dell'impulso associato alla trasmissione di un simbolo pari ad "1" può essere interpretato (in maniera piuttosto fantasiosa) come derivante dal fatto che il fronte di discesa dell'impulso si propaghi in fibra più lentamente del fronte di salita, cioè sperimenti una velocità di propagazione inferiore. Nella banda > 1.3 m, in cui la dispersione della fibra è detta anomala, il coefficiente di dispersione D è positivo, cioè la velocità di gruppo cresce al crescere della frequenza f e, quindi, le componenti a frequenza più alta viaggiano più veloci delle componenti a frequenza più bassa. Per controbattere la dispersione si può, quindi, affidare l'informazione ad un segnale a frequenza istantanea variabile, in cui, per così dire, al fronte di discesa dell'impulso corrisponda una frequenza istantanea di oscillazione più alta (una velocità di propagazione maggiore) mentre al fronte di salita sia associata una frequenza più bassa, compensando così l'allargamento dell'impulso. Tale segnale viene detto "chirp" e, con le notazioni già introdotte nel Cap. 1, ha la forma seguente  , ove p(t) è l'impulso di trasmissione lentamente variabile nei confronti di 1/f0 diverso da zero sull'intervallo [0, T) ed associato al simbolo "1" (figura seguente). La frequenza istantanea di oscillazione di tale segnale è f(t) = f0 + t ed è minima quando t è nelle vicinanze dello 0 (fronte di salita dell'impulso) e massima per t nei pressi di T (fronte di discesa). Fig. 6.2 - Inviluppo, forma d'onda e frequenza istantanea del segnale "chirp" (propagazione anomala). In questo modo il fronte di discesa "si propaga più velocemente" del fronte di salita, tendendo a raggiungerlo e compensando l'allargamento dovuto alla dispersione cromatica. Esiste una lunghezza ottima di propagazione per cui l'impulso ha durata minima; al di là di questa lunghezza il fronte di salita "sopravanza" quello di discesa e l'impulso ricomincia ad allargarsi per l'effetto congiunto di dispersione e chirp (adesso controproducente). Queste osservazioni di carattere intuitivo sono confermate dall'equazione relativa alla risposta in frequenza H() di un mezzo (debolmente) dispersivo. Il termine di dispersione, infatti, exp{jD20z*2/c} (D > 0 per propagazione anomala) nella H() può, per così dire, essere "compensato" da un termine uguale ed opposto che deve essere imposto nell'impulso lanciato in fibra (0; t); la antitrasformata di tale termine è proprio del tipo exp{jkt2}, con k opportuno dipendente da z, e rappresenta il termine di frequenza variabile linearmente nel tempo caratteristico del segnale chirp. È allora chiaro che il termine di chirp exp{jt2} introdotto artificialmente nel segnale lanciato in fibra è in grado di compensare la dispersione soltanto in corrispondenza di un ben preciso valore della distanza z dalla bocca della fibra, come anticipato euristicamente. 6.1.1 - Equazione di Propagazione del Segnale in Regime Lineare Prima di studiare ulteriormente la possibilità di realizzare "automaticamente" la compensazione della dispersione inducendo un chirp sul segnale trasmesso attraverso l'effetto Kerr, ci proponiamo di ricavare l'equazione di propagazione del mezzo dispersivo la cui risposta in frequenza è stata ricavata nel Cap. 1 19. Consideriamo, dunque, di nuovo la relazione che lega la trasformata di Fourier (0, ) del pacchetto d'onda (0; t) alla bocca della fibra e la trasformata (z; ) del pacchetto (z; t) alla generica distanza z da questa . Derivando rispetto a z entrambi i membri si ha immediatamente una equazione differenziale del primo ordine per (z; ) . Antitrasformando questa relazione per tornare in ambito temporale, otteniamo una equazione differenziale alle derivate parziali che regola la propagazione del pacchetto d'onda nel mezzo omogeneo, isotropo, lineare, senza perdite e dispersivo che, in assenza di dispersione (D = 0), si riduce alla familiare equazione differenziale per la propagazione di un'onda progressiva. 6.1.2 - Equazione di Propagazione del Segnale in Regime Nonlineare Il secondo termine a II membro nell'equazione di propagazione precedente è, dunque, responsabile dell'allargamento per dispersione di un impulso lanciato in fibra. Nel precedente paragrafo si è analizzata la possibilità di compensare questo termine attraverso un opportuno "chirping" dell'impulso. Un modo per ottenere "automaticamente" il chirping necessario alla compensazione della dispersione è quello di aumentare l'ampiezza dell'impulso lanciato in fibra in modo che l'automodulazione di fase dovuta all'effetto Kerr (che è stata discussa nel Cap. 1) provochi lo stesso effetto di compressione dell'impulso. Ricordiamo che per effetto Kerr l'indice di rifrazione del mezzo risulta dipendente dall'ampiezza del campo elettrico presente in fibra secondo la relazione , ove n(f0) è l'indice di rifrazione in regime lineare alla frequenza di centro banda, n' è il corrispondente valore aumentato per effetto Kerr, P è la potenza del segnale in fibra, A è l'area della sezione trasversale del nucleo della fibra ed 2 è il coefficiente Kerr. Poiché la densità superficiale di potenza del segnale nel nucleo è proporzionale all'ampiezza del campo elettrico ivi presente, si può anche scrivere ove, questa volta, n2 è un diverso coefficiente Kerr proporzionale ad 2 attraverso l'impedenza caratteristica del mezzo , n2 = 2/2. Per le fibre monomodo standard si ha n21.2·10 -22 (m/V)2. L'equazione di propagazione del segnale deve quindi essere modificata per tenere conto dell'automodulazione di fase (SPM). Considerando un piccolo incremento spaziale z, l'equazione stabilisce che la corrispondente variazione spaziale (z; t) = [(z; t)/z]z è determinata da due contributi: un termine di semplice ritardo di gruppo -[(z; t)/(gt)]z, ed un termine dovuto alla dispersione intramodale -jD20[2(z; t)/t2]/4c. A questi deve adesso essere aggiunto il termine derivante dalla SPM. Isolando il contributo di questo effetto, se (z; t) è l'inviluppo del pacchetto alla coordinata z, alla coordinata z + z (con z tendente a zero) si ha ove, come già detto, il termine di sfasamento è dovuto alla sola componente nonlineare della dispersione. La variazione spaziale (z; t) di (z; t) è dunque per cui il termine di gradiente spaziale addizionale da aggiungere a secondo membro dell'equazione di propagazione è pari a . L'equazione di propagazione del pacchetto d'onda inclusiva dell'effetto di automodulazione di fase è dunque ovvero . Può accadere che la dispersione nonlineare indotta dall'effetto Kerr compensi perfettamente la dispersione lineare del mezzo. Quando ciò si verifica, la soluzione della precedente si dice onda solitaria e si propaga nel mezzo senza distorsioni. Esistono, poi, onde solitarie che godono di una particolare proprietà di ortogonalità: quando due di queste soluzioni vengono ad "interagire", come nel caso di due impulsi contropropaganti sulla stessa fibra che si trovano a "collidere", esse non si influenzano reciprocamente bensì mantengono la propria "individualità" dopo l'interazione, cioè conservano la stessa forma dell'inviluppo (proprietà non ovvia in regime di propagazione nonlineare). Per questo motivo tali soluzioni dell'equazione d'onda si dicono solitoni. Prima di elaborare ulteriormente l'equazione di propagazione, resta da chiarire sotto quali condizioni è possibile la compensazione della dispersione lineare attraverso la SPM. In presenza di effetto Kerr il pacchetto d'onda che si propaga su una piccola distanza z > 0 subisce uno sfasamento di entità pari a , che provoca uno scostamento nella frequenza istantanea del pacchetto d'onda dal valore f0 relativo al caso di propagazione lineare pari a . Poiché n2 > 0, sul fronte di salita dell'impulso (derivata temporale dell'inviluppo positiva) la frequenza è minore di f0, mentre sul fronte di discesa la frequenza è maggiore. Affinché questo impulso "chirp" si propaghi senza allargamento, le frequenze più alte (relative al fronte di discesa) devono propagarsi più velocemente delle frequenze più basse relative al fronte di salita. La velocità di gruppo deve essere crescente con la frequenza e, quindi, il coefficiente di dispersione D deve risultare positivo: la compensazione è possible solo in condizioni di propagazione anomala (0 > 1.3 m). 6.1.3 - Soluzione della Equazione di Schrödinger in Forma di Solitone L'equazione di propagazione viene usualmente scritta usando tempi, distanze ed ampiezze opportunamente normalizzate. Sia t0 un parametro di durata dell'impulso p(t) lanciato in fibra; si adotta, allora, come coordinata temporale la seguente coordinata normalizzata che "si propaga solidalmente con l'onda" . La coordinata spaziale viene, poi, normalizzata rispetto alla distanza 2z0 = 2ct20/(2D) ed infine le ampiezze del pacchetto d'onda sono scalate della quantità a0 . Se l'ampiezza dell'impulso lanciato in fibra è molto più piccola di a0, la dispersione lineare tende a dominare; se invece |(0; t)|MAX a0, l'effetto Kerr può compensare la dispersione lineare, come discusso. Con le posizioni appena viste l'equazione di propagazione si riscrive nella forma che è la cosiddetta equazione di Schrödinger nonlineare. Per ricavare una soluzione in forma di solitone di questa equazione, si cerca un andamento di la cui ampiezza risulti invariante rispetto a ; in tali condizioni il pacchetto d'onda si propaga in fibra con eventuali sfasamenti ma senza nessuna alterazione nell'ampiezza dell'inviluppo (cui è associata l'informazione trasmessa in un sistema a modulazione d'intensità). Cerchiamo, dunque, una soluzione della relazione precedente per separazione di variabili con la condizione V(0) = 1 derivante dalla normalizzazione e = 0 per assicurarsi che l'ampiezza in 0 sia quella di picco. Imporremo, inoltre, le condizioni al contorno = 0 e = 0 per fisica realizzabilità dell'impulso. Naturalmente poichè l'equazione di Schrödinger è nonlineare, una eventuale soluzione per separazione di variabili è unica, nel senso che non dà luogo alla infinità di soluzioni per separazione di variabili di un'equazione lineare (come nel caso della eq. di d'Alembert). Sostituendo, dunque, la precedente nell'equazione di Schrödinger si trova immediatamente . Affinchè effettivamente l'inviluppo V() della soluzione di quest'equazione non dipenda da , deve aversi e, quindi, sostituendo nella precedente, . Motliplicando entrambi i membri per dV()/d ed integrando, si ottiene con C costante opportuna. Imponendo le condizioni al contorno viste, si trova immediatamente C = 0. Inoltre, aggiungendo le condizioni "iniziali", si ha K = 1/2, per cui la precedente diventa ovvero, dividendo per V(), . Questa equazione elementare ha come soluzione particolare con V(0) = 1 la seguente . Unendo le relazioni ottenute si ha infine ove sech() = 1/cosh() = 2/(e + e -) è la funzione "a campana", riportata di seguito, che descrive l'andamento dell'ampiezza del solitone. Fig. 6.3 - Grafico della funzione sech(·) (linea nera); è indicata anche la durata FWHM calcolata sulla potenza istantanea sech2(·) (linea rossa), che è pari a 2*ln[(1+(2)1/2)]. Denormalizzando la soluzione si ottiene che indica chiaramente come l'impulso del tipo sech(°) si propaghi senza distorsione ed in particolare senza allargamento, realizzando così la compensazione della dispersione lineare attraverso la SPM. 6.2 - Proprietà dei Solitoni La quantità t0 rappresenta una misura della durata del solitone e può considerarsi una variabile indipendente, nel senso che si possono, in teoria, realizzare solitoni con durate arbitrarie. In realtà alla durata del solitone è legata l'ampiezza massima a0 del medesimo, che deve aumentare al diminuire della durata stessa. La possibilità di ottenere solitoni in fibra è stata prevista teoricamente nel 1973 attraverso la derivazione dell'equazione di Schrödinger per la propagazione del pacchetto d'onda in fibra, mentre l'osservazione sperimentale della formazione di un solitone si è avuta nel 1980. In questo esperimento è stato usato un laser a gas pompato da un laser Nd:YAG (Niodimio:Ittrio Alluminio Granato) con impulsi della durata di 7 ps per una ampiezza massima, calcolata secondo i parametri della fibra, in 1.2 W. Per meglio sottolineare le caratteristiche dei solitone, l'equazione di Schrödinger può essere risolta per via numerica simulando la trasmissione solitonica su distanze lunghissime in diverse configurazioni di sistema. Se, ad esempio, l'ampiezza di picco dell'impulso è inferiore a quella prevista dalla , il solitone non si forma e l'impulso viene rapidamente disperso, come mostrato nella figura (a) seguente; se l'ampiezza è superiore, il solitone viene ad eccitarsi man mano che l'impulso si propaga in fibra, mentre la parte dell'energia dell'impulso eccedente viene dissipata in code secondarie che rapidamente si disperdono, come nell'esempio della figura (b) seguente. Fig. 6.4 - Propagazione di un impulso di tipo sech su 1000 km di fibra in assenza di perdite - TFWHM = 33 ps, t0 = 0.2 ns, D = 17 ps/(nm·km), 0 = 1.55 m - Potenza di picco inferiore (a) e superiore (b) di 3 dB rispetto al valore del solitone. Il solitone possiede anche una proprietà di "robustezza", nel senso che non è necessario che l'impulso generato dal LASER di trasmissione abbia esattamente la forma prescritta di sech(°); ogni "ragionevole" forma d'onda (Gaussiana o similare) tende ad evolvere verso il solitone, purchè l'ampiezza della medesima sia adeguatamente maggiore della a0 prevista per la soluzione dell'equazione di Schrödinger. La figura (a) seguente mostra l'evoluzione di un impulso Gaussiano con una potenza di picco pari a +10 dBm sufficiente ad innescare la propagazione solitonica, mentre la (b) è relativa al caso di potenza di picco 0 dBm, in cui il solitone non può formarsi e l'impulso si allarga perchè la dispersione lineare è dominante. Fig. 6.5 - Evoluzione di un impulso Gaussiano lanciato in fibra - TFWHM = 33 ps, t0 = 0.2 ns, D = 17 ps/(nm·km), 0 = 1.55 m - Regime subsolitonico -3 dB (a) e regime supersolitonico +3 dB (b). C'è da osservare che la relazione è stata ricavata nell'ipotesi di mezzo senza perdite. In realtà lanciando un solitone in fibra si deve tener conto che la potenza ottica dell'impulso decresce man mano che questo si propaga. È chiaro, dunque, che il solitone cessa di essere tale non appena l'ampiezza dell'inviluppo, per effetto dell'attenuazione della fibra, non è più tale da poter provocare una compensazione della dispersione lineare attraverso l'effetto Kerr. La figura seguente mostra l'evoluzione del solitone (TFWHM = 33 ps, t0 = 0.2 ns, D = 17 ps/(nm·km), 0 = 1.55 m) durante un percorso di appena 50 Km su di una fibra avente = 0.3 dB/km. Affinchè il solitone possa propagarsi su lunghe distanze (da centinaia a migliaia di Km) senza essere distrutto dalla dispersione, si deve provvedere a "sostenere" il solitone stesso attraverso amplificazioni ottiche ripetute ad intervalli opportuni. L'intervallo di ripetizione (qualche decina di Km) risulta per un solitone generalmente più piccolo del corrispondente intervallo necessario ai tradizionali sistemi di trasmissione "lineari" (più di un centinaio di Km), che risultano, però, di capacità inferiore perchè limitati dalla dispersione. Fig. 6.6 - Propagazione solitonica con attenuazione = 0.3 dB/km TFWHM = 33 ps, t0 = 0.2 ns, D = 17 ps/(nm·km), 0 = 1.55 m. In questo modo, sono stati condotti molti esperimenti di trasmissione su anelli di fibra con amplificazione ripetuta; di seguito è mostrata la disposizione di uno dei primi di questi esperimenti, che prevedeva amplificazione Raman con pompa a 1.46 m e trasmissione a 1.55 m. Fig. 6.7 - Disposizione sperimentale per la propagazione a lunga distanza di solitoni con amplificazione Raman distribuita. Tali esperimenti hanno consentito di rivelare solitoni trasmessi su di una lunghezza di diverse migliaia di Km di fibra. Recentemente è stata anche dimostrata la possibilità di usare amplificazioni ripetute di solitoni mediante EDFA per compensare le perdite delle varie tratte in fibra. Con la tecnica dell'anello di fibra (75 Km con 3 EDFA) si è arrivati alla trasmissione di solitoni da 50 ps su di una distanza di 10.000 Km. L'uso di solitoni come impulsi che rappresentano il simbolo "1" in una trasmissione numerica con ricevitore a rivelazione diretta richiede qualche cautela. Si è già fatto cenno alla proprietà dei solitoni di mantenere la propria individualità durante una interazione. Questa proprietà si riferisce però soltanto a solitoni a diverse lunghezze d'onda; solitoni alla stessa lunghezza d'onda, come quelli relativi a due intervalli di bit adiacenti in una trasmissione numerica, sono al contrario soggetti a "forze" di attrazione o repulsione a seconda della fase relativa del pacchetto d'onda. In una trasmissione numerica gli impulsi devono essere mantenuti ad una "distanza" tale da non dar luogo ad interazione apprezzabile. In caso contrario si crea, infatti, in fase di propagazione una inaccettabile variazione della posizione degli impulsi rispetto al clock di trasmissione. Un esempio di questo fenomeno è riportato nelle figure seguenti: in (a) i solitoni sono adeguatamente spaziati e l'interazione è minima, mentre in (b) i solitoni sono molto "vicini" e l'interazione crea una interferenza inaccettabile. Per evitare questo fenomeno si deve fare all'incirca T > 20*t0, che evidentemente costituisce una limitazione al massimo bit-rate di un sistema solitonico (ricordiamo che la durata FWHM del solitone è pari a circa 1.76*t0). Nonostante ciò i sistemi solitonici con amplificazione ripetuta offrono un prodotto B*L migliore dei sistemi in II finestra o di quelli in III finestra con fibre a dispersione spostata. Fig. 6.8 - Interazione tra due solitoni adiacenti - t0 = 0.1 ns - (a): TFWHM = 16.5 ps, (b): TFWHM = 25 ps. La figura seguente mostra, infine, il confronto tra la capacità di trasmissione di un sistema IM/DD con impulsi Gaussiani a 1.5 m in una fibra monomodo standard con dispersione 15 ps/(Km·nm) ed un sistema solitonico alla stessa lunghezza d'onda, trascurando le perdite (sistema limitato dalla dispersione). Riguardo a questo confronto si deve osservare che un sistema di trasmissione solitonico è esente da dispersione e non risente neanche del rumore di fotorivelazione nè di quello termico perchè l'ampiezza del segnale ricevuto è comunque grande (il solitone viene sostenuto dalle amplificazioni ripetute). Gli errori sul bit nel sistema solitonico sono provocati dalla interazione tra il segnale e il rumore ASE introdotto dagli stadi di amplificazione ripetuta, che crea un jitter nella posizione degli impulsi (effetto Gordon-Haus) simile a quello dovuto alla interazione solitone-solitone appena discussa. Si nota, comunque, che è possibile ottenere un incremento fino ad un fattore 10 nel prodotto B*L dei sistemi solitonici rispetto ai lineari. Fig. 6.9 - Confronto tra la capacità di trasmissione dei sistemi solitonici e OOK.

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