Numero di ore in cui si sviluppano nuovi argomenti (L): 66
Numero di ore in cui si sviluppano esemplificazioni ed
esercitazioni di laboratorio (E): 44
Numero di ore in cui si effettuano prove intermedie di verifica
(V): 16
Numero totale di ore: 126
Seguendo la tradizione italiana che vuole riuniti all'interno della stessa disciplina temi molto diversi fra loro quali la modellazione dei carichi e della risposta strutturale - elastica, lineare e non, o plastica - nonché la valutazione della capacità portante e la misura della sicurezza, il corso copre l'insieme degli argomenti che da diversi anni, in modo pressoché omogeneo ed oramai standard, i più prestigiosi atenei europei ed internazionali propongono solitamente suddivisi fra i corsi di Theory of Structures, I e II, o, alternativamente, nei corsi di Structural Mechanics, I e II, la linea di demarcazione essendo costituita dalla iperstaticità delle strutture. Tuttavia, il tipo di approccio utilizzato per la presentazione degli argomenti - quanto mai unitario - ed il peso dato a ciascuno di essi - sono rigorosamente esclusi tutti i metodi grafici e quei metodi la cui sola ragione d'essere consiste nella possibilità di evitare la soluzione di sistemi d'equazioni lineari - rendono il corso uno strumento particolarmente moderno e adatto per l'accesso a corsi a carattere ancor più applicativo quali la Tecnica delle Costruzioni o la Meccanica Computazionale dei Solidi e delle Strutture.
PROGRAMMA DI MASSIMA
GEOMETRIA DELLE MASSE (L: 9, E: 6)
I sistemi materiali discreti - Distribuzioni discrete di punti materiali su una retta, su un piano o nello spazio: momenti d'ordine n rispetto all'origine, agli assi ed ai piani coordinati. Massa totale, momenti statici, baricentro e sue proprietà (teorema di Varignon), momenti d'inerzia, raggi d'inerzia, momenti centrifughi, centri relativi agli assi ed ai piani coordinati, relazioni di reciprocità, momento d'inerzia polare. Momenti centrali d'ordine n e loro proprietà. Le leggi di variazione dei momenti d'ordine n rispetto a rette od a piani paralleli: i teoremi di trasposizione per il momento statico, il momento d'inerzia, il momento centrifugo ed il momento d'inerzia polare (teoremi di Huygens). I sistemi piani di masse. Rappresentazione analitica dello stato d'inerzia rispetto ad un punto: le leggi di variazione dei momenti del second'ordine rispetto ad assi di direzione variabile. Direzioni e momenti d'inerzia principali. Espressioni dei momenti del second'ordine riferiti ad assi di direzioni assegnata dati i momenti principali e soluzione del problema inverso. Rappresentazione grafica dello stato d'inerzia intorno ad un punto: il circolo di Mohr e sue proprietà. Polarità, antipolarità ed ellisse d'inerzia (Culmann). L'equazione dei diametri coniugati. L'ellisse centrale d'inerzia. Estensione dei risultati precedenti al caso tridimensionale: il tensore d'inerzia.
I sistemi materiali continui - Distribuzioni continue di punti materiali su una retta, su un piano o nello spazio: densità di massa lineare, superficiale e volumica. Espressioni dei momenti d'ordine n rispetto all'origine, agli assi ed ai piani coordinati. Massa totale, momenti statici, baricentro, momenti del second'ordine, raggi d'inerzia, centri relativi, relazioni di reciprocità, momento d'inerzia polare. Espressioni dei momenti centrali d'ordine n.
La geometria delle aree - Caratteristiche inerziali di figure piane elementari. Area, momenti statici, baricentro, momenti del second'ordine, momento d'inerzia polare. Momenti centrali. Simmetria assiale obliqua e retta. Simmetria polare. Determinazione delle caratteristiche inerziali di figure piane complesse mediante l'uso dei teoremi di trasposizione e delle leggi di variazione dei momenti del second'ordine rispetto ad assi di direzione variabile. Assi e momenti centrali d'inerzia. L'ellisse centrale d'inerzia. Diametri coniugati. Il nocciolo centrale d'inerzia e sue proprietà. Metodi numerici per dedurre le caratteristiche inerziali di figure piane complesse con contorno poligonale.
ANALISI STATICA E CINEMATICA DELLE TRAVI E DEI SISTEMI DI TRAVI RIGUARDATE COME CORPI RIGIDI (L: 12, E: 8)
La trave - Definizioni ed ipotesi. Gli enti geometrici fondamentali: la linea d'asse, la sezione trasversale e le sue proprietà inerziali. Travi ad asse rettilineo o curvilineo, piane o spaziali. Travi a sezione costante o ad inerzia variabile; a sezione compatta ed in parete sottile, aperta o chiusa. Influenza dei rapporti dimensionali sul comportamento meccanico delle travi. Travi tozze o snelle, funi e fili.
I vincoli - Spostamenti assoluti e relativi d'insiemi discreti di punti materiali nel piano e nello spazio: gradi di libertà. Espressione generale del vincolo di rigidità fra due punti materiali. Il vincolo di rigidità nel caso di piccoli spostamenti. La trave riguardata come un corpo rigido. I vincoli: descrizione e terminologia tecnica, prestazioni cinematiche e loro molteplicità. Le connessioni: descrizione, descrizione e terminologia, prestazioni cinematiche e loro molteplicità. I sistemi di travi: cinematismi e strutture. Terminologia tecnica di travi diversamente vincolate. Sistemi notevoli di travi.
Analisi cinematica dei sistemi di travi - I sistemi di travi riguardati come assemblaggio di travi o di parti rigide. Il problema della congruenza per i sistemi di travi rigide soggetti a spostamenti infinitesimi. Le sezioni di riferimento e le sezioni ausiliarie. Le equazioni di compatibilità cinematica, interna ed esterna. Condizioni di vincolo e di raccordo. La scrittura delle equazioni di compatibilità cinematica: il procedimento generale, semplificato, sintetico ed i metodi di soluzione. La matrice cinematica ed il controllo dell'efficacia dei vincoli. Il grado d'indeterminazione cinematica e la classificazione dei sistemi di travi. Travature ipostatiche o labili, isostatiche ed iperstatiche.
I carichi - Modellazione meccanica delle azioni sulle costruzioni. Azioni concentrate e distribuite. Forze e distorsioni. Forze di volume e di superficie. Le azioni sulle travi e sui sistemi di travi. La riduzione dei carichi all'asse. Le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione: sforzo assiale, N, sforzi di taglio, Tx e Ty, momenti flettenti, Mx e My, momento torcente, Mz. Sistema di riferimento globale e sistemi di riferimento locali. Convenzioni sui segni delle reazioni vincolari e delle caratteristiche della sollecitazione. Le sconnessioni: descrizione e terminologia tecnica, prestazioni statiche e loro molteplicità.
Analisi statica dei sistemi di travi - I sistemi di travi riguardati come assemblaggio di travi o di parti rigide. Le discontinuità geometriche, di carico e di vincolo. I nodi, le sezioni di riferimento e le sezioni ausiliarie. Il problema dell'equilibrio. Le equazioni di compatibilità meccanica, interna ed esterna. Condizioni di vincolo e di raccordo. La scrittura delle equazioni di compatibilità meccanica: il procedimento generale, semplificato, sintetico, il metodo delle equazioni ausiliarie ed i metodi di soluzione. Matrice statica ed efficacia dei vincoli. Il grado d'indeterminazione statica e la classificazione dei sistemi di travi. Sistemi staticamente incompatibili, determinati ed indeterminati. La risoluzione interna dei sistemi di travi. Le equazioni differenziali d'equilibrio per l'elemento di trave ad asse rettilineo e ad asse curvilineo e le condizioni al contorno. Il tracciamento dei diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione: il metodo diretto, il metodo indiretto. Azioni concentrate in punti dell'asse: le discontinuità nei diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione.
Le travature reticolari - Definizioni ed ipotesi. Elementi di una travatura reticolare. Terminologia tecnica. Travature reticolari piane e spaziali. Travature reticolari notevoli. Numero minimo d'aste: la condizione di Föpl. Il problema dell'equilibrio. La scrittura delle equazioni di compatibilità meccanica attraverso il procedimento generale: l'equilibrio dei nodi in forma vettoriale ed in forma scalare. Il metodo delle equazioni ausiliarie. I metodi sintetici per la risoluzione interna: travature a nodi canonici e a sezioni canoniche. Il metodo di Culmann ed il metodo di Ritter.
Il principio dei lavori virtuali per i sistemi di travi rigide - Spostamenti reversibili, spostamenti virtuali e lavoro virtuale. Il principio dei lavori virtuali per i sistemi di travi rigide. Uso di campi di spostamenti congruenti: determinazione delle reazioni vincolari e delle caratteristiche della sollecitazione nei sistemi staticamente determinati. Uso di sistemi di forze equilibrati: determinazione di campi di spostamenti congruenti. Relazioni fra componenti di spostamento, assolute e relative. La dualità tra il problema statico e il problema cinematico.
ANALISI STATICA E CINEMATICA DELLE TRAVI E DEI SISTEMI DI TRAVI RIGUARDATE COME CORPI ELASTICI (L: 15, E: 10)
Le travature elastiche - L'indeterminazione statica delle strutture: inadeguatezza del modello di comportamento rigido. Il ricorso all'esperienza. Il comportamento dei materiali metallici duttili durante una prova sperimentale: le grandezze ricavabili da una prova di trazione monoassiale. La fase elastica ed il limite di proporzionalità, lo snervamento e la fase plastica, l'incrudimento, la rottura. Il modello elastico lineare, ipotesi e campo di validità. Brevi cenni alle esperienze ed alla formula segreta di Hooke.
La teoria tecnica delle travi elastiche - L'elemento di trave: il concio di lunghezza finita ed il concio elementare. Configurazione di riferimento e configurazione attuale. Misure locali di deformazione infinitesima: estensione, scorrimento angolare, curvatura flessionale, curvatura torsionale. Le relazioni costitutive fra le misure locali di deformazione infinitesima e le caratteristiche della sollecitazione. La rigidezza estensionale, tangenziale, flessionale e torsionale. L'energia di deformazione elastica per la trave. La compatibilità cinematica per la trave: descrizione approssimata del campo di spostamenti mediante le componenti di spostamento dei punti dell'asse e le rotazioni delle sezioni. L'ipotesi di conservazione delle sezioni piane (Bernoulli): conseguenze e campo di validità. L'ipotesi di perpendicolarità fra il piano della sezione e la tangente alla linea elastica: la trave d'Eulero-Bernoulli. Inclusione del contributo deformativo dovuto allo sforzo di taglio: la trave di Timoshenko. Espressioni esplicite delle relazioni fra le misure locali di deformazione e le componenti di spostamento dei punti dell'asse.
Il Principio dei lavori virtuali per i sistemi di travi elastiche - Spostamenti virtuali, deformazioni virtuali e lavoro virtuale interno. L'enunciato del Principio dei lavori virtuali. L'uso di sistemi di forze equilibrati: la tecnica dei carichi esplorativi per il calcolo di spostamenti, assoluti e relativi, in strutture elastiche staticamente determinate. Unicità e linearità della soluzione: il Principio di sovrapposizione degli effetti.
Sistemi di travi elastiche a basso grado d'indeterminazione statica - Risoluzione del problema iperstatico attraverso il metodo delle forze. La struttura principale e le incognite iperstatiche. Il metodo della struttura equivalente ed il metodo delle strutture ausiliarie. Le equazioni di Müller-Breslau. I coefficienti d'influenza: significato, proprietà, convenzione sui segni e metodi di calcolo. I termini di carico. Criteri da adottare nella scelta del sistema principale. Il caso dei vincoli imperfetti: cedimenti elastici ed anelastici. Il problema delle coazioni: variazioni termiche, autotensioni, forzaggio e difetti di montaggio. Semplificazioni derivanti dalla simmetria strutturale.
La teoria delle travi elastiche snelle inflesse - Casi in cui il contributo deformativo dello sforzo assiale e/o di taglio è rigorosamente nullo o può essere trascurato. Il ruolo della snellezza. Importanza della tipologia strutturale delle travi snelle nell'ingegneria delle costruzioni contemporanea. L'equazione differenziale della linea elastica: analisi delle condizioni al contorno ed illustrazione dei metodi per l'integrazione. Il trattamento delle discontinuità della linea elastica: analisi delle condizioni di raccordo ed illustrazione di metodi che ne semplificano l'integrazione. Studio di travi continue e strutture iperstatiche semplici soggette a condizioni di carico e di vincolo generiche.
Sistemi di travi elastiche ad alto grado d'indeterminazione statica - Le strutture piane caricate nel piano medio. La risoluzione del problema iperstatico mediante il metodo degli spostamenti. L'ipotesi d'indeformabilità assiale delle travi. Definizione di momenti d'estremità e loro espressioni in termini delle componenti di spostamento delle sezioni estreme. Uso di campi di spostamento congruenti: la scrittura delle equazioni d'equilibrio in complessi sistemi di travi attraverso il Principio dei lavori virtuali. La ricerca del regime di sollecitazioni primario: la struttura reticolare associata. Il caso del regime primario estensionale: le strutture a nodi fissi e l'equazione delle cinque rotazioni. Il caso del regime primario flessionale: le strutture a nodi mobili e le equazioni di Gehler. Risoluzione di problemi iperstatici semplici.
Il calcolo automatico delle strutture elastiche - Inclusione del contributo deformativo dovuto allo sforzo assiale. Le distorsioni fondamentali e la costruzione della matrice di rigidezza della trave nel sistema di riferimento locale. La matrice di rotazione ed il trasferimento al sistema di riferimento globale. La matrice di connettività e l'assemblaggio del sistema delle equazioni d'equilibrio risolventi. La matrice di rigidezza globale della struttura e sue proprietà. I vettori dei carichi e degli spostamenti nodali: introduzione delle condizioni al contorno. La soluzione del problema in termini delle componenti di spostamento nodali. Relazioni fra i carichi all'estremità delle travi e le caratteristiche della sollecitazione. Analisi matriciale delle strutture reticolari elastiche.
MECCANICA DEI SOLIDI DEFORMABILI ED ELEMENTI DI TEORIA DELL'ELASTICITA' (L: 9, E: 6)
Analisi della deformazione - L'ipotesi del continuo. Configurazione di riferimento ed attuale di un corpo continuo. Nozione di deformazione. Misure locali di deformazione: dilatazione lineare, superficiale e cubica, scorrimento angolare. Deformazioni infinitesime. Tensore di deformazione infinitesima e significato geometrico delle sue componenti. La simmetria del tensore di deformazione. Legge di variazione del tensore della deformazione per rotazioni del sistema di riferimento. Deformazioni principali e direzioni principali della deformazione. La compatibilità cinematica interna: le equazioni di congruenza. La compatibilità cinematica esterna: analisi delle condizioni al contorno.
Analisi dello stato di tensione - Le forze di contatto interne e il principio delle sezioni d'Eulero. Il vettore trazione. Espressioni delle componenti di tensione normale e tangenziale su una giacitura generica. Lo stato di tensione in un punto. Il tensore degli sforzi di Cauchy. La compatibilità statica interna: le equazioni indefinite d'equilibrio (Cauchy), la reciprocità delle tensioni tangenziali e la simmetria del tensore degli sforzi. La compatibilità statica esterna: le equazioni ai limiti. Legge di variazione del tensore degli sforzi per rotazioni del sistema di riferimento. Tensioni principali e direzioni principali dello sforzo. Le linee isostatiche. La rappresentazione dello stato di tensione nello spazio delle tensioni principali (Haigh-Westergaard) e nel piano di Mohr. Valori estremi delle componenti di tensione normale e tangenziale.
Il materiale elastico lineare - Omogeneità ed isotropia. Le costanti elastiche: modulo d'elasticità normale (Young), modulo d'elasticità tangenziale e coefficiente di contrazione laterale (Poisson), modulo di compressibilità cubica. I legami costitutivi, diretti ed inversi. La matrice di rigidità del materiale.
Il problema dell'equilibrio elastico - Il sistema delle equazioni di campo e le condizioni al contorno. Teorema d'unicità (Kirchhoff). Principio di sovrapposizione degli stati d'equilibrio elastici. Il principio dei lavori virtuali per i corpi deformabili. L'energia di deformazione elastica ed il lavoro delle forze esterne. Energia potenziale elastica ed energia potenziale totale. Teorema di Clapeyron. Il teorema di Betti. Teoremi di stazionarietà e di minimo dell'energia potenziale totale.
IL PROBLEMA DI SAINT VENANT ED I CRITERI DI RESISTENZA DEI MATERIALI (L: 12, E: 8)
Il Problema di Saint-Venant - Le ipotesi fondamentali. Il postulato di Saint-Venant. Le sollecitazioni indipendenti. Lo sforzo normale semplice: campi di spostamento, di deformazione e di sforzo, il lavoro di deformazione. La flessione retta: principio di conservazione delle sezioni piane, campi di spostamento, di deformazione e di sforzo, il lavoro di deformazione. Le sollecitazione combinate. Lo sforzo normale eccentrico (presso- o tenso-flessione): il nocciolo centrale d'inerzia. La flessione deviata: relazioni fra gli assi di sollecitazione, neutro e di flessione. L'ellisse centrale d'inerzia e l'equazione dei diametri coniugati. Scomposizione in due flessioni rette. La flessione composta (flessione e taglio): il contorno attivo e la formula di Jourawski. Il fattore ed il centro di taglio. La torsione uniforme. La sezione circolare: campi di spostamento, di deformazione e di sforzo, il lavoro di deformazione. Sezioni compatte di forma generica: funzione d'ingobbamento e formulazione del problema di Neumann. La funzione degli sforzi. Le soluzioni esatte per le sezioni di forma ellittica od a triangolo equilatero. Il fattore di torsione. Le analogie meccaniche: le soluzioni approssimate per le sezioni rettangolari allungate e le sezioni in parete sottile aperta. La formula di Bredt per le sezioni in parete sottile chiusa. I cassoni pluricellulari.
Criteri di resistenza dei materiali - Lo sviluppo storico dei criteri di resistenza dei materiali. Le prove sperimentali. La scelta della grandezza di confronto. Modalità di crisi: duttile (snervamento), fragile (distacco), e mista (frattura duttile). Il concetto di superficie limite ed il dominio di resistenza dei materiali. Rappresentazione nello spazio delle tensioni principali e nel piano di Mohr. Processi di carico di tipo radiale o generale. Le misure deterministiche della resistenza dei materiali: il coefficiente ed il grado di sicurezza interno. Il ruolo delle incertezze e le misure probabilistiche della resistenza dei materiali: i fattori parziali di sicurezza ed i valori caratteristici della resistenza. Il criterio della tensione normale massima (Galileo) e della trazione massima (Rankine) (teoria del cut-off): possibili applicazioni alle crisi per distacco. Il criterio dell'attrito interno (Coulomb): applicazioni alla meccanica dei terreni ed ai conglomerati. Le modifiche di Mohr al criterio di Coulomb: il criterio della curva intrinseca. Il criterio della dilatazione massima (Saint Venant) e dell'energia di deformazione elastica massima (Beltrami). I criteri di plasticità per i materiali isotropi. Il criterio della tensione tangenziale massima (Tresca) e della massima energia distorcente (von Mises). Modalità di verifica della resistenza per le travi.
LA CRISI DELLE STRUTTURE: INSTABILITÀ DELL'EQUILIBRIO E COLLASSO PLASTICO (L: 12, E: 8)
La valutazione della capacità portante ultima delle strutture - La scelta dello spazio operativo per la verifica. La crisi duttile nelle strutture iperstatiche e lo spazio dei carichi; la crisi duttile delle strutture isostatiche e lo spazio delle caratteristiche della sollecitazione, la crisi fragile e lo spazio delle tensioni. Curve e superfici d'interazione nello spazio d'input, intermedio e di output, i domini di resistenza. Processi di carico di tipo radiale o generale. Le misure deterministiche della sicurezza strutturale: il coefficiente ed il grado di sicurezza esterno. Il ruolo delle incertezze e le misure probabilistiche della sicurezza strutturale: l'affidabilità ed il coefficiente di affidabilità. Gli stati limite di esercizio ed ultimi: le basi del metodo di verifica semiprobabilistico adottato dalla normativa europea (i fattori parziali di sicurezza ed i valori caratteristici delle azione e delle resistenze).
La crisi delle strutture per instabilità dell'equilibrio - Possibilità di grandi spostamenti associati a piccole deformazioni: l'insidia delle non linearità geometriche. Lo studio delle strutture ad elasticità concentrata. Caratteristiche principali dei percorsi d'equilibrio di strutture perfette, quasi perfette ed imperfette. Ramo principale e rami secondari. Instabilità dell'equilibrio per diramazione (buckling) o per cedimento progressivo (snap-through). Comportamento post-critico stabile ed instabile. La linearizzazione del problema: il metodo degli equilibri adiacenti ed il carico critico convenzionale. Scrittura diretta del sistema delle equazioni di equilibrio risolventi, uso del principio dei lavori virtuali, uso del teorema di stazionarietà dell'energia potenziale totale. Autovalori, autovettori e loro significato. Lo studio delle strutture ad elasticità diffusa: la trave di Eulero, il carico Euleriano, influenza delle condizioni di posa. Determinazione del carico Euleriano di strutture semplici attraverso l'uso dell'equazione differenziale della linea elastica delle travi inflesse e presso-inflesse.
La crisi delle strutture per collasso plastico - Il comportamento della trave elasto-plastica oltre la soglia elastica. Lo sforzo normale plastico. La flessione semplice: il momento al limite elastico ed il momento flettente plastico. Le ipotesi del calcolo plastico delle strutture. Il teorema statico, il teorema cinematico, il teorema di unicità, i corollari. La ricerca del moltiplicatore di collasso per via statica o cinematica. L'interazione fra instabilità dell'equilibrio e collasso plastico: le basi del metodo omega.